\[1-\cos x=2\sin^2(x/2)\le\frac{x^2}{2}\]

\[0\le x-\sin x=\int_0^x(1-\cos t)dt\le\frac{x^3}{6}\]

\[0\le\cos x-1+\frac{x^2}{2}=\int_0^x(t-\sin t)dt\le\frac{x^4}{24}\]

中间两个积分推导先取非负上限；余弦四次界由偶性可以推广到所有实数。这个递推关系让几条三角界不再是互不相干的泰勒记忆。

完整例题

固定 p 大于零，分别观察正弦小量、一减余弦、角度减正弦的级数。

1

\[\sin(n^{-p})\sim n^{-p}\]

对应收敛阈值 p 大于 1。

2

\[1-\cos(n^{-p})\sim\frac12n^{-2p}\]

对应阈值 p 大于二分之一。

3

\[n^{-p}-\sin(n^{-p})\sim\frac16n^{-3p}\]

对应阈值 p 大于三分之一。精确三阶等价使用带余项的泰勒公式证明。